2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答

2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答

22中等数学竞赛之窗

2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛

第一天

一、AB是⊙O的一条弦,它的中点为

M,过点M作一条非直径的弦CD,过点C和

D作⊙O的两条切线,分别与直线AB于P、Q两点.求证:PA=QB.

()

二、f(x:

(1)f(0)(2)对任意x、y∈(-∞,-1)∪(1,

),都有f+∞xz+zx+x=22.4(张同君 供题)求xy+yz+2α+cos2β+02:2)2sin4α+(1+cos2β)2sin4β+2≤(1+cosα(1+cos2γ)2sin4γ≤(1+cos2α)(1+cos2β)(1+cos2γ).(谭祖春 供题)+fy=f;1+参考答案

一、如图1,联结

OM、OP、OQ、OC、OD.

因为PC为⊙O的切

线,M为弦AB的中

点,则

∠PCO=∠PMO

图1=90°.

所以,P、C、M、O四点共圆.

同理,Q、D、O、M四点共圆.

则有∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM.

故OP=OQ.从而,MP=MQ.

又MA=MB,所以,PA=QB.二、在(2)中,令y=-x,得

f+f-=f(0)=0,x(3)当x∈(-1,0)时,都有f(x)>0.求证:f+f+…+f2>fn+7n+2,其中n∈N+.(刘 贵 谭祖春 供题)三、在公差为d(d>0)的正数等差数列a1,a2,…,a3n(n≥2)中,任取n+2个数.证明:其中必存在两个数ai、aj(i≠j),满足不等式1<|ai-aj|nd<2.(刘康宁 安振平 供题)第二天

四、已知n位数的各位数字只能取集合

{1,2,3,4,5}中的元素,设含有数字5且在5

的前面不含3的n位数的个数为f(n).求

(蒋西明 f(n).供题)

五、如果三个正实数x、y、z满足

2222x+xy+y=,y+yz+z=36,4即 f-x=-fx.故f(x)是奇函数.设-1<x1<x2<0,则有f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f-1-x1x2=f.x1x2-1

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