一道北方数学奥林匹克试题的加强_探源与推广

一道北方数学奥林匹克试题的加强、探源与推广

程汉波 杨春波

()华中师范大学数学与统计学学院,430079

2012年第八届北方数学奥林匹克试题第6题是一个与正整数n有关的不等式证明题,结论简形式优美,给人以多方面的启迪,笔者拟对该洁,

试题进行加强、探源与推广.

题目 设n是正整数,证明:

()(1+)1+2…(1+n)<2.

333

分析与证明 与正整数有关的命题,我们不妨用数学归纳法去证.若直接使用数学归纳法,从右边常量不变,但左边改变,显然是k到k+1时,行不通的,于是可考虑设法给出并证明原命题的(…((加强命题:1+)1+2)1+n)<2-

333

,n)0<f(n)<2.f(

为了利用数学归纳法,由归纳的过程知,n)f(](),必须满足[这2-f(n)1+n+1)n+1≤2-f(

))((,等价于只需满足n1≤n1≤++

2-f(n)33))而且当((,显然可取f(n)=n,n

23显然成立于是可用数学

.=1时有1+≤2-,

33

归纳法证得加强命题成立,从而原命题也成立.试题的另证与加强1.

原命题即

得证.

由上面的证明过程可知

i=1

(n1+)<,l23

据此得原赛题的加强形式:设n是正整数,证明:

()(1+)1+2…(1+n)<.

333

试题探源2.

笔者发现类似的题目早在高考和数学竞赛中只是由其稍微改编而来,可谓是该赛题的出现,题源.

题源1 (2006年高考数学江西卷理科第22,且题)已知数列{aaan}满足:1=n=

23nan1-

(n≥2,n∈N*).

2an1+n-1-

()求数列{的通项公式;1an}

()证明:对一切正整数n,不等式a2a1·2·…··恒成立.an!n<2

·,)问中求得a分析 在第(则第1n=n

3-1

同样()问中的不等式转化为(21-i)>,23i=1)(1-+≥i23i=1

,推导知可n)n)f(f(>0后利用数学归纳法证明(可考虑给出其加强命题为取f(n)=

n.2·3

),(两边同时取对数得1+i<23i=1

)若联想到重要不等式:当xn2,<li

3i=1

(则可得到该题的另一简捷ln1+x)>-1时,≤x,

证法.(n1+l

)(又ln1n2,+i<l3i=1

(因为当x>-1时,有l于是n1+x)≤x,

证明 原命题等价于)(ln1+≤i3i=1

n2,<<l2

题源2 (1965~1966年波兰数学奥林匹克…,三试试题第3题)证明:如果非负数xx1,2,满足xxn是任意正整数)xxn(1+2+…+n≤(…(那么(1-x1-x1-x1)2)n)≥.

…,,分析 令x则有xi=1,2,n)i=i(13,即是(那么1-i)+x2+…+xn<>,223i=1

()

1-n=i23i=13

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