一道2007北方数学奥林匹克试题的推广

2007第三届北方数学奥林匹克第8题为设△ABC的内切圆半径为1,三边长BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整数,求证:△ABC为直角三角形。

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中学数学研究

道 2 7北方数学奥林匹克试题的推广 0 0 安徽省南陵县实验中学 (4 3 o邹守文 2 1o ) 20 07第三届北方数学奥林匹克第 8题为 设AA C的内切圆半径为 1三边长 B B, C 业业 业业业业业业业韭业业业业 业业业业业

(, o ( ( o m ) (, ), m是 m+o )或一o,或 m )则方程=0的一个根 .函数=厂( )区间若 在 (, o ( ( o m) (, )上单调递 m+o )或一o,或 m )增 ( )则≥ 0 y≤ O对一切∈ (, 减, ( ) m+ o )或 ( o m) o (一o,或∈ (1, )恒成立 . 7, ) 7本题选择 B的同学就是把区间( 2错误地理解成 0,)

意>0在 R上恒成立, I - 。 .

{ _口,口即的 1 o得≥实 2解 ≤

取值范围为[+o){, o . () 2把一个函数在某点处的导数等于 0误,认为是这个函数在该点取得极值的充分必要条 件。

是函数的单调递减区间,、是 . ) 0 2厂(=0的两 个根.

正确的解法为:因为函数 y=一僦 。+4

侈 7已知函数 f(=+a++《 x) 0 x a

在(,) 02内单调递减,以=3 m≤O所 x一2 x 对一切 .∈ ( 2恒成立, m≥ 7 O,) C即对一切

在=1处有极值 1, f x . O求 ( ) 误解:由题意得 ,

E (,) 02恒成立,解得≥3故选择 A . . 5条件运用不合理致错 .

{+ 1口

b++ 口 2=

_川。,0解之 1 .

得 b 3或 l: ,

( )厂(在某区间 D上恒大(于 0 1把 )小) 误认为是函数在区间 D上为增 ( )减函数的充 分必要条件 .

{ 1是 (_33++或 1厂 )~ 3 9三 . - 于 X f(:+4 2 1 x)。 x~1x+1 . 6 剖析:略一看,粗也还很难发现错在哪里 .

侈 6设函数 f x) 3一+一5在Ⅱ (=a 0 c 区间 (一∞,+∞ )单调递增,实数 a的取上求值范围. 误解:‘=3 z~2‘ . a x+1

由题意>O,

在上成{ -<解口 R恒 . 1 0得> 2, 口 专,实即数a的取值范围专, c)为(+o. 剖析:粗略一看,还很难发现错在哪里.事

实上, z在某区间 D上恒大(于 0是函厂( )小) 数在区间 D上为增 ( )减函数的充分不必要条件.最简单的的例子如:大家都知道函数 f x) ( =

事实上,一个函数在某点处的导数等于 0只“,是这个函数在该点取得极值的必要条件.最简单的例子如:函数 f(=一在=0处的 x)。 导数厂(:0但 f 0=0并不是函数 f x) ), ( ) ( 。的极值。一个函数在某点处有极值的充 要条件是这个函数在该点处的导数等于 0而且在该点两侧导数异号,进一步检验可发现: 当 f(:~3 x+9时厂(=3一6 x)。 x十3 ) =一 .

+=3 x—1,时尽管厂( ), = 3 ( )这 1=0但在 1的左右两侧的导数符号相同(都为正)因此, =1就不是函数厂z=一3+3 9的 ( )。 + 极值点.反可以验证 f x) 3 z—1 z相 (=X+4 1 +6符合题意,

。 R上单调递增, ( 3 在厂 ) x≥0在 R

上恒成立,而不是厂(=3 ) x>0在 R上恒 成立 .

正确的解法为:.=3 z—2’’ a x+1由题,

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