2007年第三届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题

2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案 (陕西 西安)第一天 2007年8月1日 9:00 —12:00

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2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案

(陕西 西安)第一天

2007年8月1日 9:00 —12:00

一、(本题25分) 在锐角 ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M,在BD上取点N使AN AM.

二、(本题25分) 设 ABC三边长分别为a,b,c,且a b c 3.

4

求f(a,b,c) a2 b2 c2 abc的最小值.

3

2an

三、(本题25分) 在数列 an 中,a0 2007, an 1 (n N).

an 1

求证:当0 n 1004时,有 an 2007 n (其中[x]表示不超过x的最大整数).

四、(本题25分) 平面上每个点被染为n种颜色之一,同时满足: (1)每种颜色的点都有无穷多个,且不全在同一条直线上; (2)至少有一条直线上所有的点恰为2种颜色. 求n的最小值,使得存在互不同色的4个点共圆.

第二天

2007年8月2日 8:30 —11:30

1 tantan 22

五、(本题25分) 设 , (0,),求A=

2cot cot

的最大值.

2

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