对一道“北方数学奥林匹克竞赛试题”的探究

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20 0 7年第 1期 1

中学教研 (学)数

4 5

对一道“方数学奥林匹克竞赛试题’北’的探究 ●沈毅 (重庆市舍川太和中学 415 ) 055 a AD O M>—, —

问题是数学的心脏,而解题则是推动数学发展

+ a —

:2.一’

的不竭动力.但是题海无涯,单纯依靠大量的解题训练来提高自身的解题能力,然是不够的.显笔者认 为,在解决问题的过程中,为重要的是对问题的深更入探索和发展,这样不但可以加深对数学本质的认

即 1得÷<, 可 t n— a

A< 1’ .

识,阔自身的思维,开而且可以有效地避免题海战

术,到以少胜多的目的.文借助对一道优秀的平达本 面几何问题的探索,抛砖引玉,揭示数学问题研究的 一

因此

tA【, a 1 n e3) ,

般性思维过程.

题目已知 A是 AA C的边 B D B C上的高,且 B A A A .厶4的取值范围. C+ D= B+ C求 (O 6年第 2届北方数学奥林匹克邀请赛试题 ) 2O 1试题的另解 一

即 所以 评注

A【,) a}子, r c 【c,) 2t3 . aa詈 r n 上述解决方法产生的关键是构造与题设

中A B+A C—B C相关的线段,造线段的和差,是构这

解决此类问题的重要方法.面再介绍 2种构造线下 段和差解决问题的方法,先给出引理 1 . 引理 1 A D是 AA C的边上 B B C的高, D在边 B C内部, A 且 D= A

般来说,拿到一道试题,首先是研究怎样解决

它,而往往一道好的数学题目在解法上都存在着多

样性,本题也不例外.过研究,者发现了 5当然经笔 种异于文献[] 1中参考答案的解决方法. 解法 1如图 1设 AA C的内切圆 00与边 , B B C C,A相切于点肘,并设 00的半径为 rAⅣ,,N:t .

B则 (,] C }a÷., r c 证法 1如图 2, A设 D:B C: 1 B, l=,,D=贝 C 1一得 D t n/ A:, n/ AD=1一, a _B D t _C a

令 B, C,B的边长分别为 CA A口 bc则由三角形内切圆的,,, 性质,易得 A+AC—BC=2 N=AD. B A

A

图 2

因此

tn/ AC= a _B l一 a B a t n AD t n

A D=2. t 图 1 —

又易知 A ̄A D< O+O则 M, AO> A—O肼=2—r ̄ D t .

1

1一 (一 x 1 )

=1+t≥( t r, - 2—) 2

÷ )}+ 又因为 E(, )所以易得 01,

整理得即

了 r≥ 3 ,

丁 3. A≥_

t B, a A( n C 抖即 (,t】 号呲n . a ÷ , 证法 2如图 3因为 A , D:

又为 D_毒=因 A== 2 t 口 6

B且点 D在边 B C, C的内部,所 以可以以 B为边作正方形 C 图3

而 b+c>口.以 所

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