2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)

D题(抢渡长江)参考答案

注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x(t), y(t)) 以速度

u(t) (ucos (t),usin (t))前进,其中游速大小u不变。要求参赛者在流速

v(t) (v,0)给定的情况下控制 (t) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H),如图1。 这是一个最优控制问题:

MinTdxs.t. ucos

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案

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(t) v,x(0) 0,x(T) Ldtdy

usin (t),y(0) 0,y(T) Hdt图1

可以证明,若 (t) 为连续函数, 则 (t) 等于常数时上述问题有最优解。证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control, Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. (注:根据题意,该内容不要求同学知道。)

1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化,即令 u(t) (ucos ,usin ),而流速

v(t) (v,0), 其中 u 和 v 为常数, 为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 (x(t), y(t)) 满足

dx

ucos v,x(0) 0,x(T) L dt

(1)

dy usin ,y(0) 0,y(T) H dt

T是到达终点的时刻。 令z cos ,如果 (1) 有解, 则

x(t) (uz v)t,L T(uz v)

(2) 22

y(t) u zt,H Tu z

即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线,且

L T (3) uz v若已知L, H, v, T, 由(3)可得

z

L vTH2 (L vT)2

,u

L vT

(4) zT

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