2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题答案(pdf)

2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题解答

Linchang

一.AB是圆O的一条弦,它的中点为M,过M作一条非直径的弦CD,过C和D作圆O的两条切线,分别与直线AB相交于P,Q两点.求证:PA=QB.

证:由于CD过M,C与D在直径OM的两侧,故P与Q在直线AB上位于线段AB外的不同侧.OM⊥AB,OC⊥PC,故O,M,C,P四点共圆,∠OPM=∠OCM,同理∠OQM=∠ODM.但OC=OD,∠OCM=∠ODM.因此∠OPM=∠OQM, OP=OQ,从而 PM=QM, PA=QB.

二.定义在R上的函数f(x)满足:

1.f(0)=0;

1 1 +f2.对任意x,y∈( ∞, 1)∪(1,+∞),都有f = x y x+y f ; 1+xy

3.当x∈( 1,0)时,都有f(x)>0.

求证;f 1 +19 1 f +...+ 29 1 1 *f 2>f ,其中n∈N. n+7n+11 2

解: x>1时(x+1)/(x-1)>1.对任意的x,y>1,根据条件2,有

x+1y+1+x 1y 1xy 1x 1y 1f()+f()=f(=f().由此对n归纳可证:当x1,x2,…,xn>1时成立x+y+x+1y+1xy1+1+x 1y 1

等式 ∑k=1nf(xk 1xx...x 1)=f(12n xk+1x1x2...xn+1

现在令xk=(k2+7k+12)/(k2+7k+10), 则 (xk-1)/(xk+1)=1/(k2+7k+11).故题中不等式的左边就等于f((x1x2…xn-1)/(x1x2…xn+1)).由于xk=(k+3)(k+4)/(k+2)(k+5),连乘约分得

x1x2…xn=5(n+3)/(3(n+5)),

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